등급? 백분위? 표준점수? 원점수와 표준편차

◎ 등급과 백분위

 

지난 2023년 10월에 교육부에서는 「2028학년도 대입제도 개편 시안」을 발표하고, 그해 12월에 확정하였습니다. 

교육부 - 내신 9등급제, 2025부터 5등급 체제로

교육부 > 교육부 소식 > 보도·설명·반박 > 보도자료

 

과거 15등급제였던(언제? 1991~2004학년도?, 1등급은 3%.. ) 내신등급체제는 2005학년도부터 9등급제로 적용되고 있습니다. 
그리고 드디어 20년만에 5등급제로 개편됩니다. 

개편되는 5등급의 경우, 5등급의 경우 절대평가(A, B, C, D, E)와 함께, 상대평가(1~5등급)을 함께 기재하기로 되었습니다. 

이 중 상대평가 내신 등급제는 기본적으로 학생들의 성적이 정규분포임를 가정하고 상위 누적 %에 해당하는 학생들에게
해당 등급을 부여하는 방식입니다. 즉, 상위 누적 백분위(점수, 비율)를 기준으로 등급을 부여합니다. 

 

□ 9등급제(현행)와 5등급제(개편)의 등급별 비율(등급 - 백분위)

9등급제 (현행)	1등급	2등급	3등급	4등급	5등급		6등급	7등급	8등급	9등급
	4	7	12	17	20 %		17	12	7	4
	~ 4	~ 11	~ 23	~ 40	누적 ~ 60 %		~ 77	~ 89	~ 96	~ 100

5등급제 (개편)	1등급		2등급		3등급		4등급		5등급
	10		24		32 %		24		10
	~ 10		~ 34		누적 ~ 66 %		~ 90		~ 100

※ 15등급(옛날..) 경우 1등급부터 상위 누적비율이 ~3, ~7, ~12, ~18, ~25, ~33, ~43, ~57, ~67, ~75, ~82, ~88, ~93, ~97, ~100%..

 

9등급제에서 1등급은 4%이므로 과목 수강자가 13명 미만의 경우
1등급(12 * 0.04 = 0.48 ≒ 0명.. 13 * 0.04 = 0.52 ≒ 1명)을 산출할 수 없으나,
학생 수 감소 및 고교학점제의 과목 선택(일반선택, 진로선택, 융합선택 등..)으로 인한 과목당 수강 인원 수 감소로 
실제 내신산출이 불가능해지는 과목들이 늘어나고 있어 등급제 개편이 되었습니다.. 

하지만 이로 인하여 등급별 변별은 더욱 어려워지는 문제도 있습니다. 

 

◎ 표준점수(Z점수, T점수, ..) 

한편 표준점수는 원점수가 정규분포를 따른다고 가정한 후 원점수의 상대적 위치를 나타내기 위하여 사용하는 점수입니다. 

Z점수가 대표적인 표준점수로 아래의 식을 통해 구할 수 있습니다. 
  Z점수 = (원점수 - 집단의 원점수 평균) / (집단의 원점수 표준편차)
Z의 분포는 집단의 분포와 동일하나 평균은 0, 표준편차는 1(대략 -5 ~ 5 사이에 분포한다고 합니다) 을 가지게 됩니다. 

 

한편 T점수는 평균을 50, 표준편차를 10으로 설정한 점수(평균을 100으로 하기도 합니다)입니다. 

  T점수 = 10 * Z점수 + 50 (또는 T점수 = 20 * Z점수 + 100) 

T점수는 수능 표준점수로 활용되고 있기도 합니다. 
  ▶ 국어/수학 수능 표준점수는 20 * (원점수 - 평균) / 표준편차 + 100
  ▶ 탐구 수능 표준점수는 10 * (원점수 - 평균) / 표준편차 + 50 

 

※ 수능에서 백분위 점수는 수능의 표준점수를 활용하여 산출할 수 있습니다.

  수능 백분위점수 = ((해당 표준점수보다 낮은 학생 수) + (해당 표준점수 동점 학생 수) / 2) / (전체 학생 수) * 100

  또는 

  수는 백분위점수 = (1 - ((해당 표준점수 초과 누적학생 수 + 해당 표준점수 동점학생 수 * 0.5) / (전체 학생수))) * 100

 

◎ 원점수, 평균, 표준편차와 등급.. 

학생부의 교과학습발달상황에서는 기본적으로
과목의 단위수와 함께 원점수, 과목평균과 함께 표준편차, 성취도, 수강자수와 석차등급 등이 기재됩니다. 

그리고 공통과목과 일반선택과목, 진로선택과목에 따라 기재되는 내용은 달라지며..
(진로선택에서는 석차등급 대신 성취도와 성취도별 분표비율이 기재됩니다.
 그리고 고교학점제로 인하여 단위수가 아니라 학점수로 기재되기도 합니다) 

2023년 12월 확정안 발표사항 기준으로 개정 이후에는 아래와 같이 표준편차 없이 성취도별 분표비율이 제공된다고 합니다. 
(2022 개정 교육과정 기준 151개 과목이 있으며, 이 중 사회과학 융합선택은 9개 과목입니다.
 그리고 표준편차는 없고 성취도별 분표비율이 제공됩니다.. ) 

 

표준편차가 제공되는 경우, 표준편차는 산포도 즉 집단 내 분산의 정도이며 (//ko.wikipedia.org/wiki/표준_편차 ) 
표준편차가 클수록 중심(평균)에서 자료가 넓게 분포됩니다. (자료가 정규분포를 따른다면 아래 그림과 같습니다) 

평균(μ) 50점, 표준편차(σ) 10인 과목이라면 정규분포를 가정한다면 정규분포표를 참고로 하여 백분위를 계산할 수 있습니다. 
그리고 이 백분위로 등급을 구하면 되겠죠? 

 

예) 

원점수가 50점( = μ + 0 * σ)이면 상위 50.00%( = 100 - (50 + 0.00)) ▷ 5등급(현행), 3등급(개편)

원점수가 60점( = μ + 1 * σ)이면 상위 15.87%( = 100 - (50 + 34.13)) ▷ 3등급(현행), 2등급(개편)

원점수가 70점( = μ + 2 * σ)이면 상위 2.28%( = 100 - (50 + 47.72)) ▷ 1등급(현행), 1등급(개편)

원점수가 80점( = μ + 3 * σ)이면 상위 0.13%( = 100 - (50 + 49.87)) ▷ 1등급(현행), 1등급(개편)

※ Excel로 간단히 구현해보면.. NORM.DIST 함수 또는 NORM.S.DIST 함수를 사용하여 백분위를 구할 수 있습니다. 

  (1 - NORM.S.DIST((원점수 - 평균)/표준편차, TRUE))*100) 또는 
  (1 - NORM.DIST(원점수, 평균, 표준편차, TRUE))*100) 입니다. 

 

※ 표준정규분포표

 

표준정규분포는 평균 0, 표준편차 1인 z로 표현되는 확률값을 활용합니다. (z ∈ N(0, 1^2)

z는 원점수에서 평균을 뺀 후 표준편차로 나눈 값으로, z = (X - μ) / σ 입니다. 
(z < 1 = 0.3413, z < 1.5 = 0.4332, z < 2 = 0.4772, z < 3 = 0.4987)

 

참고: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table

 

 

◎ 성취도, 성취도별 분포비율 등 

현재의 진로선택과목은 원점수와 과목평균, 수강자 수, 성취도와 성취도별 분포비율이 제공됩니다. 
(진로선택과목의 경우 석차등급(상대평가)을 내지 않고, 절대평가로 A/B/C의 성취도 성적을 산출합니다) 즉 표준편차가 제공되지 않는데요.. 
(원점수(성취율) 기준 80이상 ~ 100 성취도 A, 60이상 ~ 80미만 성취도 B, 60미만 성취도 C로 절대평가를 합니다) 

대학들은 진로선택과목의 2~3과목 또는 전과목을 가산점, 환산등급, 환산점수, 정성평가 등의 방식으로 성적에 반영합니다. 

예로 성취도별 분포 비율이 A(40%), B(30%), C(30%)를 가정하면 
환산등급의 경우
  ① A/B/C는 각각 1/2/3, 1/2/4, 1/3/5 등의 등급으로 환산하지만 
  ② A = 1등급 또는 A = 1 + (40 / 100) = 1.4등급, B = 40 ▷ 4 + (A 40 + B 30) / 100 = 4.7등급
  ③ A = 1등급, B = 100 - (B 30 + C 30) = 40% ▷ 4등급 등의 방식으로 환산하기도 합니다. 

환산점수의 경우
  ① A/B/C를 100/80/60, 100/98/90 등의 점수로 환산하지만 
  ② A = (40 / 2) + (30 + 30) = 80점, B = (30 / 2) + (30) = 45점으로 환산하기도 합니다. 

 

2022 개정에 따른 개편안에서는 절대평가(성취도)와 상대평가(등급)가 병기되는 것으로 되어 있습니다. 

즉, 성취도 A/B/C/D/E의 경우 90이상/80이상/70이상/60이상/40이상 의 절대평가(점수? 성취율?)와
등급 1/2/3/4/5의 경우 누적 상위 10%/34%/66%/90%/100%의 상대평가가 함께 기재됩니다. 

※ 현재의 진로선택과목 성취도의 경우 정상분포 추정 시 A의 분포비율은 10%여야 하나, 
  일반고 22%, 외고 48%, 과고 59%, 자사고 33%(2028 대입제도 개편 시안 브리핑 자료 참조)라고 합니다. 

 

ex) 어느 과목의 원점수 70, 평균 62.5, 표준편차 14.5인 경우 30.2%, 4등급(현행, 개편은 2등급)의 학력일 때, 

  원점수 75, 평균 73.5의 성취도 B(A 33, B 53, C14)라면 (또는 개정시 A 33, B 53, C 8, D 4, E 2를 가정하면 )
  성취도에 의한 등급은 
  ① B : 2등급 | 2등급 | 3등급
  ② B : A 33 ▷ 4등급 + (A 33 + B 53) / 100 = 4.86등급(현행) | 33 ▷ 2등급 + (A + B) / 100 = 2.86등급(개편) 
  ③ B : 100 - (B 53 + C 14) = 33% ▷ 4등급(현행) | 100 - (B~E) = 33% ▷ 2등급(개편)이 됩니다. 

  (반영방법에 따라서 유불리가 생기죠.. 그래서 대입전형이 어렵습니다.. )

 

하지만, 상대평가 등급이 표기되므로 성취도로 등급을 만들 필요는 없겠으나 
5등급의 상대평가 등급에 성취도(성취도별 분포비율)를 반영하여 등급을 세분화하는 방법도 있을 것 같습니다. 

예로 76점으로 상대평가 3등급을 받았으나 난이도가 높아 성취도별 분포가 A 5%, B 5%, C 20%, D 40%, E 30%에서 C를 받았다고 하면 
▶ (3등급 + 1.3등급) / 2 = 2.15등급 (∵ (A 5 + B 5) ▷ 1등급 + (A 5 + B 5 + C 20)/100 = 1.3등급)
▶ (3등급 점수 + 1등급 점수) (∵ 100 - (C ~ E) = 100 - 90 = 10% ▷ 1등급)
또는 83점으로 상대평가 3등급을 받았으나 난이도가 낮아 성취도별 분포가 A 30%, B 40%, C 20%, D 5%, E 5%에서 B를 받았다고 하면 
▶ (3등급 + 2.7등급) / 2 = 2.85등급 (∵ A 30 ▷ 2등급 + (A 30 + B 40)/100 = 2.7등급)
▶ (3등급 점수 + 2등급 점수) (∵ 100 - (B ~ E) = 100 - 70 = 30% ▷ 2등급)

 

 

참고) 

  2028 대학입시제도 개편 시안 브리핑 https://ebrief.korea.kr/briefing/63135

  국가교육과정정보센터 https://ncic.re.kr/